同餘初步的學習_1700字

　　一：同餘的概念　

　　數學上，兩個整數除以同一個整數，若得相同餘數，則二整數同餘（英文：Modular arithmetic；德文：Kongruenz）這個概念最初是高斯提出的。　

　　同餘符號　

　　兩個整數a，b，若它們除以整數m所得的餘數相等，則稱a，b對於模m同餘　

　　記作 a ≡ b (mod m)　

　　讀作a同餘於b模m，或讀作a與b關於模m同餘。　

　　比如 26 ≡ 14 (mod 12)　

　　性質　

　　1. 如果a ≡ b (mod m)，那麼 m | (a − b)，這裡 m | (a − b) 表示 (a − b) 能被 m 整除　

　　2. 如果a ≡ b (mod m)，b ≡ c (mod m),那麼a ≡ c (mod m)　

　　3. 如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m),那麼a + c ≡ b + d (mod m)，a - c ≡ b - d (mod m)，a * c ≡ b * d (mod m)，a / c ≡ b / d (mod m)　

　　4. 如果a ≡ b (mod m)，那麼a^n ≡ b^n (mod m)　

　　另：求自然數a的個位數字，就是求a與哪一個數對於模10同餘。　

　　同餘關係是一種等價關係：　

　　①反身性　 ；　

　　②對稱性 ，則 ，反之亦然.　

　　③傳遞性 ， ，則 ；　

　　如果 ， ，則　

　　① ；　

　　② 特別地 　

　　二：習題分析與思考　

　　例1：判定288和214對於模37是否同餘？74與20呢？　

　　解∵288-214=74=37*2　

　　∴288≡214（mod37）　

　　∵74-20=54而37不可被54除　

　　∴74與20對於模37不同餘，288和214對於模37同餘。　

　　我覺得這道題目只能算教科書上最最基本的題目，可是這道最最基本的題目也讓我在這次的夏令營里小小地驚訝了一下，原因是什麼？原因是我對新知識比較陌生，要慢慢地適應，這樣就導致了當我看到“模37”時好好地楞了一傢伙，然後在寫“≡”的時候又幾次三番地寫成了“=”，實在是令人哭笑不得。從另外一個角度來說這道題目雖然簡單，但是如果是給剛剛了解同餘概念的人去做，嘿嘿，也不見得會做得快。我認為在做這種題目的時候一定要清空思想，別老是去想以前的那些知識，這樣的結果就是越想越彆扭，降低了做題的速度。所以我對這道題就一句話：玩的就是心跳。　

　　例2：求418*814*1616/13得到的係數。　

　　解：∵418≡2（mod13）　

　　814≡8(mod13)　

　　1616≡4（mod13）　

　　∴418*814*1616≡2*8*4≡64≡12(mod13)　

　　事實上我們學習的同餘本身的概念並不繁複，也並不難人，可是它恰恰就是在計算上煩人，要的是你起碼優秀，最好傑出，最最好完美的計算能力，在我們做作業都在用計算器代替小學時用嘴用腦用紙筆的時候，“計算能力”這4字似乎是被我們忽略了，於是在這塊知識上計算能力差的一下子就被“示眾”，想躲都躲不起來。從這道題里我們可以重新審視一下計算能力的重要性，重新注意一下被我們拋棄的草稿紙，重新照顧照顧曾經反應速度極快的腦子。那樣我們就能更快地解開這道題目了。　

　　例3：求143^89除以7的餘數　

　　解：∵143≡3（mod7）　

　　∴143^89≡3^89（mod7）　

　　由3^6≡3^4*3^2≡4*2≡1（mod7）　

　　3^84≡（3^6）^14≡1^14≡1（mod7）　　 　

　　∴3^89≡3^84*3^4*3≡5（mod7）　

　　∴143^89≡5（mod7）　　 　

　　做完這道題目我對這個知識點的感覺就是“轉化，轉化，再轉化”也許是我們學的還是比較簡單的東西，所以給的題目都沒有什麼大陷阱，大花頭。正當得意之時下面一道題來了。　

　　例4：求2^100+3^101+4^102的個位數字　

　　解：∵2^100≡2^（4*25）≡16^25≡6^25≡6（mod10）　

　　3^101≡3^（4*25）+1≡（81^25）*3≡（1^25）*3≡3（mod10）　

　　4^102≡(4^100)(4^2) ≡6(mod10)　

　　∴2^100+3^101+4^102≡6+3+6≡5（mod10）　

　　∴2^100+3^101+4^102的各位數字為5　

　　這道題目主要是要考計算能力，和上面幾道題目不一樣的是這道題的計算量大了許多，在寫這麼多“≡”的時候比較容易寫出“=”來，而在接這種題目的時候眼睛也一定要盯仔細了，不然寫錯一個便是“一步錯，步步錯”。　

　　三：結論　

　　同餘的只是現在還沒有學多少，但是這裡的幾道題目已經充分體現了這塊知識的難度，不過我們換一個角度想一想，這上面的幾道題目是不是影射了我們現在計算能力的低下？我的回答是“是”，起碼這是我的回答，因為一道題目原本不需要多少時間，僅僅因為我的計算能力不強，做題所需時間一下子多了許多。同餘便是這樣。而作為一個新知識，同於也開啟了一扇新的大門，在我們原有、僅有的“=”定式的旁邊憑空開創了一個新的領域————“≡”，這也是一件十分有意思的事。所以同餘初步的學習告訴了我：學無止境，不能老是把自己先放在一個小框架里，因為知識是無窮無盡的，1+1?2！