《花卉趣味百話》（連載）七十四、花卉的數學趣話

　　《花卉趣味百話》（連載）

　　陳宣章陳瓏玥編著

　　七十四、花卉的數學趣話

　　有道趣味數學題：苗圃有塊9尺9寸見方的地，相鄰兩株樹苗距離1尺，最多能種多少株樹苗？甲設計方案：種10行，每行10株，共100株。乙設計方案：沿對角線種，每邊8株，共113株。丙設計方案：按正三角形種，每行10株，行距0。866尺（邊長1尺的正三角形底邊的高），共12行，結果種了120株。

　　這種以植物為內容的趣味數學題非常多。但是，自然界中植物本身的趣味數學更奧妙！古希臘著名的數學家畢達哥拉斯和他的學派相信“哪裡有數哪裡就有美”，數和數學中有豐富的美感和趣話。而植物中就有許多這樣的美感和趣話。

　　一張直角三角形的紙卷到一個圓筒上，斜邊就成一條螺旋線，因在圓柱上形成，叫“圓柱螺旋線”。牽牛花是蔓生植物，常纏繞其它直立較粗壯的物體向上爬，形成圓柱螺旋線。牽牛花為何要如此向上爬呢？因植物需要陽光，只有長得更快更高，才能獲得較多陽光。牽牛花要爬快爬高，可自己枝幹非常細弱，只有纏繞別的物體向上爬。展開圓柱側面，可以看出：主幹上圓柱螺旋線的一個“周期”正好是側面展開矩形的對角線。因為兩點間以連結這兩點的線段為最短，所以，牽牛花也是按照數學最小值的原理來達到自己的目的。

　　在令人眼花繚亂的數學美中，最瑰麗的莫過於黃金律（黃金分割）了。為了能在大自然的風霜雨雪中生存下來，植物選擇了長高和長粗的最佳比例，即“黃金比率”0。618。在小麥或水稻的莖節上，可看到其相鄰兩節之比為1：1。618，又是一個“黃金比率”。還有松果、菠蘿等果實表面，都具有明顯的“黃金螺旋線”特徵。這是一條非常美麗的曲線。

　　將圓周角360°按黃金分割成兩部分：222°32`和137°28`。很多植物的葉子按空間螺旋線自下而上順序逐個萌出，奇妙的是：每相鄰兩個葉柄的夾角都是137°28`。而這種角度的通風和採光效果恰恰最佳。

　　17世紀著名的法國數學家笛卡兒，以創立坐標法而享有盛譽。他在研究一簇花瓣和葉子的曲線特徵后，列出了X3+Y3-3aXY=0的曲線方程式，準確形象地揭示了植物葉子和花朵形態所包含的數學規律，因此取名“笛卡兒葉線”或“葉形線”，又稱作“茉莉花瓣曲線”。如果將參數a的值加以變換，便可描繪出不同植物葉子或者花瓣的外形圖。

　　科學家對垂柳、睡蓮、三葉草、常青藤等植物進行認真觀察和研究后，發現植物之所以擁有優美造型（如：花瓣對稱排列在花托邊緣；整個花朵近乎完美地呈現輻射對稱形狀；葉子有規律地沿着植物的莖桿相互疊起；種子或呈圓形、或似針刺、或如傘狀……），在於它們和特定的“曲線方程”有密切關係。其中用來描繪花、葉輪廓的曲線稱作“玫瑰形線”；植物的螺旋狀纏繞莖取名為“生命螺旋線”。

　　撲克牌上的“梅花”並非真正的梅花，甚至不是什麼花，而是三葉草。西方歷史上，三葉草的象徵意義，據說：第一葉代表希望，第二葉代表信心，第三葉代表愛情。誰能找到四葉的三葉草，就會交上好運，找到幸福。在野外尋找四葉的三葉草，是西方的一種兒童遊戲，確實很難找到。據估計，每一萬株三葉草，才會出現一株四葉的突變型。

　　在我國，梅花有着類似的象徵意義。民間傳說梅花五瓣代表五福。民國把梅花定為國花，聲稱梅花五瓣象徵五族共和，具有敦五倫、重五常、敷五教的意義。但是，梅花有五枚花瓣並非獨特。事實上，植物花最常見的就是五枚花瓣，如：與梅同屬薔薇科的其他物種，像桃、李、杏、梨、櫻花、蘋果等都開五瓣花。常見的花瓣數還有：3枚的鳶尾花、百合花（看上去6枚，實際上是兩套3枚）；8枚的飛燕草；13枚的瓜葉菊；向日葵花瓣是21或34枚；雛菊花瓣是34、55或89枚。而花瓣是其他數的花則很少。為什麼花瓣數目不是隨機分佈的？3，5，8，13，21，34，55，89……這些數有什麼特殊嗎？有的，它們是斐波納契數。

　　斐波納契（1170-1240）是中世紀意大利數學家。他在解一道關於兔子繁殖的問題時，得出了這個數列。假定有一雄一雌一對剛出生的兔子，它們長到一個月大小時開始交配；在第二月底，雌兔產下另一對兔子；再過一個月後第二對兔子也開始繁殖，如此這般持續下去。每隻雌兔在開始繁殖時每月都產下一對兔子，假定沒有兔子死亡，那麼一年後總共有多少對兔子呢？在第一月底，最初的一對兔子交配，但仍只有1對兔子；在第二月底，雌兔產下一對兔子，共有2對兔子；在第三月底，最老的雌兔產下第二對兔子，共有3對兔子；在四月底，最老的雌兔產下第三對兔子，第二對兔子的雌兔產下第四對兔子，共有5對兔子……如此這般計算下去，兔子對數分別是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……這個斐波納契數列有個規律：從第3個數開始，每個數都是前面兩個數之和。

　　植物中的斐波納契數列非常多。不僅花，還有葉、枝條、果實、種子等形態特徵，都可發現斐波納契數。

　　1。葉序是指葉子在莖上的排列方式，最常見的是互生葉序，即在每個節上只生1葉，交互而生。任意取一個葉子做為起點，向上用線連接各個葉子的着生點，可以發現這是一條螺旋線，盤旋而上，直到上方另一片葉子的着生點恰好與起點葉的着生點重合，做為終點。從起點葉到終點葉之間的螺旋線繞莖周數，稱為葉序周。不同種植物的葉序周可能不同，之間的葉數也可能不同。如：榆的葉序周為1（即繞莖1周），有2葉；桑的葉序周為1，有3葉；桃的葉序周為2，有5葉；梨的葉序周為3，有8葉；杏的葉序周為5，有13葉；松的葉序周為8，有21葉……用公式表示（繞莖周數為分子，葉數為分母），分別為1/2，1/3，2/5，3/8，5/13，8/21……這些是最常見的葉序公式。據估計大約有90%植物屬於這類葉序，而它們全都是由斐波納契數組成的。

　　植物的生長也和斐波納契數有關。數學家澤林斯基在一次國際數學會議上提出樹木生長問題：一棵樹苗一年後長出一個新枝，每個老枝和新枝也每一年再長出一個新枝，那麼樹的分枝數就是斐波納契數列。

　　向日葵的花盤中，其種子排列組成了兩組相嵌在一起的螺旋線，一組是順時針方向，一組是逆時針方向。再數數這些螺旋線的數目，雖然不同品種的向日葵會有所不同，但是這兩組螺旋線的數目一般是34和55、55和89、89和144，其中前一個數是順時針線數，后一個數是逆時針線數，而每組數都是相鄰的斐波納契數。

　　再看菠蘿、松果上的鱗片排列，雖然不像向日葵花盤那麼複雜，也存在類似的兩組螺旋線，其數目通常是8和13。有些植物中，這種螺旋線不那麼明顯，需仔細觀察才會發現，如：花菜。花菜上的小花排列也形成兩組螺旋線，再數數螺旋線的數目，也是相鄰的兩個斐波納契數，如：順時針5條，逆時針8條。再掰下一朵小花仔細觀察，它實際上是由更小的小花組成的，而且也排列成兩條螺旋線，其數目也是相鄰的兩個斐波納契數。

　　斐波納契數和黃金分割有密切關係。實際上，黃金率=Lim（n→∞）An/An+1≈0。618。其中的An和An+1就是相鄰的兩個斐波納契數。這就和另一個更古老的、早在古希臘就被人們注意到甚至去崇拜它的另外一個“神秘”數字有關。假定有一個數φ，它有如下有趣的數學關係：φ2-φ-1=0，這個方程有兩個解：

　　①正數解（1+√5）/2=1。……②負數解（1-√5）/2=-0。……

　　這兩個數的小數部分是完全相同的。正數解（1。……）被稱為黃金數或黃金比率，通常用φ表示。這是一個無理數（無限不循環小數，沒法用分數來表示），而且是最“無理”的無理數。因為同樣是無理數，圓周率π用22/7，自然常數e用19/7，√2用7/5就可以很精確地近似表示出來，而φ則不可能用分母為個位數的分數做精確的有理近似。

　　黃金數有一些奇妙的數學性質。它的倒數恰好等於它的小數部分，也即1/φ=φ-1，有時這個倒數也被稱為黃金數、黃金比率。如果把一條直線AB用C點分割，讓AB/AC=AC/CB，那麼這個比等於黃金數，C點被稱為黃金分割點；如果一個等腰三角形的頂角是36度，那麼它的高與底線的比等於黃金數，這樣的三角形稱黃金三角形；如果一個矩形的長寬比是黃金數，那麼從這個矩形切割掉一個邊長為其寬的正方形，剩下的小矩形的長寬比還是黃金數。這樣的矩形稱黃金矩形；黃金矩形可用上述方法無限切割下去，得到一個個越來越小的黃金矩形，而如果把這些黃金矩形的對角用弧線連接起來，則形成一個對數曲線；如把這些黃金矩形的中心用光滑的曲線連接起來，就是黃金螺線。

　　常見的報紙、雜誌、書籍、紙張、身份證、信用卡用的形狀都接近於黃金矩形，據說這種形狀讓人看上去很舒服。的確，在我們的生活中，黃金數無處不在，建築、藝術品、日常用品在設計上都喜歡用到它，因為它讓我們感到美與和諧。

　　相鄰兩個斐波納契數的比近似等於φ，n越大，則越接近；當n→∞，其比就等於φ。斐波納契數與黃金數密切關聯。植物喜愛斐波納契數，實際上是喜愛黃金數。這是為什麼呢？莫非冥冥之中有什麼安排？西方人說：“植物中的神秘數字是上帝安排的和諧美。”

　　植物的枝條、葉子和花瓣有相同起源，都從莖尖的分生組織依次出芽、分化而來。新芽生長方嚮應與前面一個芽的方向不同，旋轉一個固定角度。如充分利用生長空間，新芽生長方嚮應與舊芽離得儘可能遠。那麼這個最佳角度是多少呢？如把這個角度寫成360°×n，其中0＜n＜1。由於左右各有一個相同角度（只是旋轉方向不同），例如n=0。4和n=0。6實際結果相同，因此只需考慮0。5≤n＜1的情況。如果新芽要與前一個舊芽離得盡量遠，應長到其對側，即n=1/2。但是再長第2個新芽則與舊芽同方向，第3個新芽與第1個新芽同方向……，也就是說，僅繞1周就出現了重疊，總共只有2個生長方向，中間的空間都浪費了。如果n=3/5呢？繞3周就出現重疊，總共只有5個方向。事實上，如果n是個真分數p/q，則意味着繞p周就出現重疊，總共有q個生長方向。

　　顯然，如果n是沒法用分數表示的無理數，就會“有理”得多。選什麼樣的無理數呢？圓周率π、自然常數e和√2都不是很好的選擇，因為它們的小數部分分別與1/7、5/7、2/5非常接近，也就是分別繞1、5、2周就出現重疊，分別總共只有7、7、5個生長方向。所以，越是“無理”的無理數越好。前面已提到，那只有黃金數φ≈1。618。也就是說，n的最佳值≈0。618，即新芽的最佳旋轉角度大約是360°×0。618≈222°32`（或137°28`）。

　　前面提到，最常見的葉序為1/2，1/3，2/5，3/8，5/13和8/21，表示的是相鄰兩葉所成的角度（稱為開度），如果把它們換算成n（表示每片葉子最多繞多少周），只需用1減去開度，為1/2，2/3，3/5，5/8，8/13，13/21。它們是相鄰兩個斐波納契數的比值，是不同程度地逼近1/φ。在這種情形下，植物的芽可有最多的生長方向，佔有儘可能多的空間。對葉子來說，意味着儘可能多地獲取陽光進行光合作用，或承接儘可能多的雨水灌溉根部；對花來說，意味着儘可能地展示自己吸引昆蟲來傳粉；而對種子來說，則意味着儘可能密集地排列起來。這一切，對植物生長繁殖都大有好處。可見，植物之所以偏愛斐波納契數，乃是在適者生存的自然選擇作用下進化的結果，並不神秘。

　　1976年國際數學會議上，美國普林斯頓大學的哈德羅·庫恩教授宣讀了一篇奇特的論文。眾所周知，N次方程在複數範圍內有N個根，但除N=2和少數例外，要找出N個複數根是很困難的，你想解一個複數係數是N次的方程嗎？那請你看看庫恩先生的表演吧：他準備了一個培養皿和一個立體大籬笆，籬笆越往上越密。然後把你要解的方程的信息“告訴”培養皿。皿內吐出幾個新芽，芽變成藤，飛快地攀上籬笆，一層一層往上穿。最後，每根藤恰好指向方程的一個根，於是方程的N個根就被找出來了。與會者無不目瞪口呆，驚奇萬分。植物竟會解方程！原來庫恩先生運用的是現代數學中一個極為重要的定理，這就是拓撲學中著名的“不動點定理”。因為學問太深，這裡就不詳細解釋了。

　　近十幾年產生新興的分形數學（分維幾何學）：空間具有不一定是整數的維，存在一個分數維數。這就它最本質的東西。分形圖案是指一種通過縮小比例的方法不斷重複自身的圖形。生活中，我們看到洋槐樹、蕨類植物這些很美麗的大自然圖案，就是分形圖案的典型例子。組成某一蕨類植物的枝幹本身就是這一蕨類植物的微型翻版，也就是說，任何一株獨立的蕨類植物都是由與其外觀相似的小分枝組成的。分形維數是指在某一區域內自相似圖形按比例放大的速度。如果區域內自相似圖形之間的密集度越高，這一區域的分形維數越大。

　　其實，許多科學都是受現實生活的啟發。植物中的趣味數學就是科學的鑰匙。